Question

【題目】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，公差，若，，成等比數(shù)列，；數(shù)列滿足：對(duì)于任意的，等式都成立.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（3）若數(shù)列滿足，試問(wèn)是否存在正整數(shù)，（其中），使，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析；（3）見解析.

【解析】分析：（1）根據(jù)已知解方程組得，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用作差法化簡(jiǎn)

即得，即證明數(shù)列是等比數(shù)列.(3)先化簡(jiǎn),再化簡(jiǎn)，，成等比數(shù)列,對(duì)s分類討論得解.

詳解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，由題設(shè)得

即解得

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.

（2）∵

∴，①

∴，②

由②-①得，③

∴，④

由④-③得，

由①知，，∴.

又，∴數(shù)列是等比數(shù)列.

（3）假設(shè)存在正整數(shù)，（其中），使，，成等比數(shù)列，則，，成等差數(shù)列.

由（2）可知：，∴.

于是，.

由于，所以

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，，不符合條件，

所以或，

又，所以，所以

當(dāng)時(shí)，得，無(wú)解，

當(dāng)時(shí)，得，所以，

綜上：存在唯一正整數(shù)數(shù)組，使，，成等比數(shù)列.