Question

【題目】設(shè)f（x）=x3+ax2+bx+1的導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（x）=2a，f′（2）=﹣b，
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）設(shè)g（x）=f′（x）ex ， 求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閒（x）=x3+ax2+bx+1，所以f'（x）=3x2+2ax+b．

令x=1得f'（1）=3+2a+b．

由已知f'（1）=2a，所以3+2a+b=2a．解得b=﹣3．

又令x=2得f'（2）=12+4a+b．

由已知f'（2）=﹣b，所以12+4a+b=﹣b，解得a=﹣ ．

所以f（x）=x3﹣ x2﹣3x+1，f（1）=﹣ ．

又因?yàn)閒′（1）=﹣3，

故曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y﹣（﹣ ）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0

（2）解：g（x）=f′（x）ex=（3x2﹣3x﹣3）ex，∴g′（x）=3（x﹣1）（x+2）ex，

由g′（x）＞0，可得x＜﹣2或x＞1，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，﹣2），（1，+∞）

由g′（x）＜0，可得﹣2＜x＜1，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣2，1）

【解析】（1）根據(jù)已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我們根據(jù)求函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的公式，易求出導(dǎo)數(shù)f'（x），結(jié)合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，計(jì)算出參數(shù)a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入點(diǎn)斜式方程，即可得到曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)．