Question

【題目】已知二次函數(shù).

（1）若為偶函數(shù)，求在上的值域；

（2）若的單調(diào)遞減區(qū)間為，求實數(shù)a構(gòu)成的的集合；

（3）若時，的圖像恒在直線的上方，求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）根據(jù)偶函數(shù)的對稱性，求出，結(jié)合函數(shù)圖像，即可求出在上的值域；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，確定對稱軸滿足的條件，即可得出結(jié)論；

（3）時，的圖像恒在直線的上方，即，

恒成立，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為參數(shù)與函數(shù)的最值關(guān)系，或設(shè)，分類討論求出時的最小值，進而解不等式，求出參數(shù)范圍.

（1）根據(jù)題意，函數(shù)，

為二次函數(shù)，其對稱軸為，

若為偶函數(shù)，則，

解可得；則，

又由，則有，

即函數(shù)的值域為；

（2）根據(jù)題意，函數(shù)，

為二次函數(shù)，其對稱軸為，

若在區(qū)間上是減函數(shù)，

則，則，所以a的取值范圍是；

（3）由題意知時，恒成立，

即，

方法一：所以恒成立，

因為，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得“=”，

所以，解得，所以a的取值范圍是.

方法二：令，

所以只需，對稱軸為，

當(dāng)，即時，，

解得，故；

當(dāng)，即時，

，

解得，故；

當(dāng)，即時，，

解得，舍去；

綜上所述，a的取值范圍是.