Question

【題目】已知二次函數(shù)滿足:，的最小值為1，且在軸上的截距為4.

(1)求此二次函數(shù)的解析式；

(2)若存在區(qū)間，使得函數(shù)的定義域和值域都是區(qū)間，則稱區(qū)間為函數(shù)的“不變區(qū)間”.試求函數(shù)的不變區(qū)間；

(3)若對(duì)于任意的，總存在，使得，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）由，得對(duì)稱軸是，結(jié)合最小值可用頂點(diǎn)法設(shè)出函數(shù)式，再由截距求出解析式；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最大值和最小值，然后求解．

（3）求出在的最大值4，對(duì)函數(shù)

換元，得，，由用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化．

（1）∵，∴對(duì)稱軸是，又函數(shù)最小值是1，可設(shè)（），

∴，．

∴．

（2）若，則，，∴且，解得．∴，不變區(qū)間是；

若，則在上是減函數(shù)，∴或4，因?yàn)?/span>，所以舍去；

若，則在上是增函數(shù)，∴，

∴是方程的兩根，

由得，，不合題意．

綜上；

（3），時(shí)，，

設(shè)，令，當(dāng)時(shí)，．

，

由題意存在，使成立，即，

時(shí)，的最小值是，

所以．