Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b﹣a（a，b∈R）．
（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集為（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）設(shè)a=2，若不等式f（x）＞b2﹣3b對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）設(shè)b=3，解關(guān)于x的不等式組 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)椴坏仁絝（x）=x2+ax+b﹣a＞0的解集為（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），

所以由題意得﹣1，3為函數(shù)x2+ax+b﹣a=0的兩個(gè)根，

所以 ，解得a=﹣2，b=﹣5

（2）解：當(dāng)a=2時(shí)，x2+2x+b﹣2＞b2﹣3b恒成立，即x2+2x﹣2＞b2﹣4b恒成立．

因?yàn)閤2+2x﹣2=（x+1）2﹣3≥﹣3，所以b2﹣4b＜﹣3，

解之得1＜b＜3，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為1＜b＜3

（3）當(dāng)b=3時(shí)，f（x）=x2+ax+3﹣a，f（x）的圖象的對(duì)稱軸為 ．

（�。┊�(dāng)△＜0，即﹣6＜a＜2時(shí)，由 ，得x＞1，

（ⅱ）當(dāng)△=0，即a=2或﹣6時(shí)

①當(dāng)a=2時(shí)，由 ，得 ，所以x＞1，

②當(dāng)a=﹣6時(shí)，由 ，得 ，所以1＜x＜3或x＞3，

（ⅲ）當(dāng)△＞0，即a＜﹣6或a＞2時(shí)，方程f（x）=0的兩個(gè)根為 ， ，

①當(dāng)a＜﹣6時(shí)，由 知1＜x1＜x2，所以 的解為1＜x＜x1或x＞x2，

②當(dāng)a＞2時(shí)，由 知x1＜x2＜1，所以 的解為x＞1，

綜上所述，

當(dāng)a≤﹣6時(shí)，不等式組的解集為 ，

當(dāng)a＞﹣6時(shí)，不等式組的解集為（1，+∞）

【解析】（1）把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問(wèn)題，利用方程的根建立二次一次方程組，求得a和b的值．（2）把不等式整理成x2+2x﹣2＞b2﹣4b確定等號(hào)左邊的最小值，進(jìn)而確定等號(hào)右邊的范圍求得b的范圍．（3）對(duì)判別式△大于0和小于0進(jìn)行分類討論，通過(guò)解不等式求得解集．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減)．