Question

為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額．
（1）若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求：
①顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；
②顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）商場對獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對均衡，請對袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率，依題意得X得所有可能取值為20，60，分別求出P（X=60），P（X=20），畫出顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列求出數(shù)學(xué)期望；
（2）先討論，尋找期望為60元的方案，找到（10，10，50，50），（20，20，40，40）兩種方案，分別求出數(shù)學(xué)期望和方差，然后做比較，問題得以解決．

解答： 解：（1）設(shè)顧客所獲取的獎(jiǎng)勵(lì)額為X，
①依題意，得P（X=60）=

C 1 1 • C 1 3

C 2 4

=

1

2

，
即顧客所獲得獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為

1

2

，
②依題意得X得所有可能取值為20，60，
P（X=60）=

1

2

，P（X=20）=

C 2 3

C 2 4

=

1

2

，
即X的分布列為

X	60	20
P	1 2	1 2

所以這位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的數(shù)學(xué)期望為E（X）=20×

1

2

+60×

1

2

=40
（2）根據(jù)商場的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元，所以先尋找期望為60元的可能方案．
對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇（10，10，10，50）的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以數(shù)學(xué)期望不可能為60元，
如果選擇（50，50，50，10）的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以數(shù)學(xué)期望也不可能為60元，
因此可能的方案是（10，10，50，50）記為方案1，
對于面值由20元和40元的組成的情況，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），記為方案2，
以下是對這兩個(gè)方案的分析：
對于方案1，即方案（10，10，50，50）設(shè)顧客所獲取的獎(jiǎng)勵(lì)額為X₁，則X₁的分布列為

X1	60	20	100
P	2 3	1 6	1 6

X₁ 的數(shù)學(xué)期望為E（X₁）=20×

1

6

+60×

2

3

+100×

1

6

=60．
X₁ 的方差D（X₁）=(20-60)2×

1

6

+(60-60)2×

2

3

+(100-60)2×

1

6

=

1600

3

，
對于方案2，即方案（20，20，40，40）設(shè)顧客所獲取的獎(jiǎng)勵(lì)額為X₂，則X₂的分布列為

X2	40	60	80
P	1 6	2 3	1 6

X₂ 的數(shù)學(xué)期望為E（X₂）=40×

1

6

+60×

2

3

+80×

1

6

=60，
X₂ 的方差D（X₂）=差D（X₁）(40-60)2×

1

6

+(60-60)2×

2

3

+(80-60)2×

1

6

=

400

3

．
由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的數(shù)學(xué)期望都符合要求，但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1小，所以應(yīng)該選擇方案2．

點(diǎn)評：本題主要考查了古典概型、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差等基礎(chǔ)知識，考查了數(shù)據(jù)處理能力，運(yùn)算求解能力，應(yīng)用意識，考查了必然與或然思想與整合思想．