【題目】已知函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)
的最大值為
.
(1)求實數(shù)的值;
(2)若,證明:
.
【答案】(1);(2)見解析
【解析】
(1)先對求導(dǎo),然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)形式對
進(jìn)行分類討論,通過導(dǎo)函數(shù)
最大值為0,求得
的值.
(2)要證,則需證
,再利用
的單調(diào)性,證
,利用條件把
換掉,構(gòu)造函數(shù)
證明,對
求導(dǎo),研究其單調(diào)性和極值,得到結(jié)論.
(1)由題意,函數(shù)的定義域為
,其導(dǎo)函數(shù)
記則
.
當(dāng)時,
恒成立,所以
在
上單調(diào)遞增,且
.
所以,有
,故
時不成立;
當(dāng)時,若
,則
;若
,則
.
所以在
單調(diào)遞增,在
單調(diào)遞減。
所以.
令,則
.
當(dāng)時,
;當(dāng)
時,
.所以
在
的單減,在
單增.
所以,故
.
(2)當(dāng)時,
,則
.
由(1)知恒成立,
所以在
上單調(diào)遞減,
且,
不妨設(shè),則
,
欲證,只需證
,因為
在
上單調(diào)遞減,
則只需證,又因為
,
則只需證,即
.
令(其中
),且
.
所以欲證,只需證
,
由,
整理得:,
,
所以在區(qū)間
上單調(diào)遞增,
所以,
,
所以函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞減,
所以有,
,故
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某小學(xué)舉辦“父母養(yǎng)育我,我報父母恩”的活動,對六個年級(一年級到六年級的年級代碼分別為1,2…,6)的學(xué)生給父母洗腳的百分比y%進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計,繪制得到下面的散點圖.
(1)由散點圖看出,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;
(2)建立y關(guān)于x的回歸方程,并據(jù)此預(yù)計該校學(xué)生升入中學(xué)的第一年(年級代碼為7)給父母洗腳的百分比.
附注:參考數(shù)據(jù):
參考公式:相關(guān)系數(shù),若r>0.95,則y與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)高,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.回歸方程
中斜率與截距的最小二乘估計公式分別為
=
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù)
,
單調(diào)遞增,
,若對任意
,存在
,使得
成立,則稱
是
在
上的“追逐函數(shù)”.若
,則下列四個命題:①
是
在
上的“追逐函數(shù)”;②若
是
在
上的“追逐函數(shù)”,則
;③
是
在
上的“追逐函數(shù)”;④當(dāng)
時,存在
,使得
是
在
上的“追逐函數(shù)”.其中正確命題的個數(shù)為( )
A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形為正方形,
分別為
的中點,以
為折痕把
折起,使點
到達(dá)點
的位置,且
.
(1)證明:平面平面
;
(2)求與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知動圓在圓
:
外部且與圓
相切,同時還在圓
:
內(nèi)部與圓
相切.
(1)求動圓圓心的軌跡方程;
(2)記(1)中求出的軌跡為,
與
軸的兩個交點分別為
、
,
是
上異于
、
的動點,又直線
與
軸交于點
,直線
、
分別交直線
于
、
兩點,求證:
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某興趣小組有男生20人,女生10人,從中抽取一個容量為5的樣本,恰好抽到2名男生和3名女生,則
①該抽樣可能是系統(tǒng)抽樣;
②該抽樣可能是隨機(jī)抽樣:
③該抽樣一定不是分層抽樣;
④本次抽樣中每個人被抽到的概率都是.
其中說法正確的為( )
A.①②③B.②③C.②③④D.③④
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