Question

【題目】已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的最大值為.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）若，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）先對(duì)求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)形式對(duì)進(jìn)行分類討論，通過導(dǎo)函數(shù)最大值為0，求得的值.

（2）要證，則需證，再利用的單調(diào)性，證，利用條件把換掉，構(gòu)造函數(shù)

證明，對(duì)求導(dǎo)，研究其單調(diào)性和極值，得到結(jié)論.

（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，其導(dǎo)函數(shù)

記則.

當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且.

所以，有，故時(shí)不成立；

當(dāng)時(shí)，若，則；若，則.

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。

所以.

令，則.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在的單減，在單增.

所以，故.

（2）當(dāng)時(shí)，，則.

由（1）知恒成立，

所以在上單調(diào)遞減，

且，

不妨設(shè)，則，

欲證，只需證，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，

則只需證，又因?yàn)?/span>，

則只需證，即.

令（其中），且.

所以欲證，只需證，

由，

整理得：，

，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以有，，故.