Question

【題目】如圖,矩形和菱形所在的平面相互垂直,,為的中點(diǎn).

(1)求證：平面；

(2)若,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析；(Ⅱ)．

【解析】

（1）由面面垂直性質(zhì)定理可得平面，即，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，結(jié)合線面垂直判定定理即可的結(jié)果；（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面以及平面的法向量，求出法向量的夾角即可得二面角的余弦值.

（1）證明：∵矩形和菱形所在的平面相互垂直，

∴，

∵矩形菱形，∴平面，

∵平面，∴，

∵菱形中，，為的中點(diǎn).

∴，即

∵，∴平面.

（2）由（1）可知兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，AG為x軸，AF為y軸，AD為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，

則，故，，，，

則，，，

設(shè)平面的法向量，

則，取，得，

設(shè)平面的法向量，

則，取，得，

設(shè)二面角的平面角為，則，

易知為鈍角，∴二面角的余弦值為．