Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為的中點，.

（1）求證：平面；

（2）點在線段上，，試確定的值，使平面；

（3）若平面，平面平面，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）

（3）

【解析】

（1）由線面垂直的判定定理，分別證明，即可；

（2）利用平面，可得,再利用比例關系即可得解；

（3）先建立空間直角坐標系，再分別求出平面和平面的一個法向量，再結合向量的夾角公式求解即可.

解：（1）由底面為菱形，為的中點，則,

又，則，

又,

由線面垂直的判定定理可得平面；

（2）當時，平面，

證明如下：連接交于,連接，

因為,所以，

因為平面，平面，

平面平面，

所以,

所以,

所以,

故；

（3）因為,平面平面，交線為，則平面，

建立如圖所示的看見直角坐標系，

由，則有,

設平面的一個法向量為，

由,且, ,

可得，取，則，

取平面的一個法向量為，

則，

故二面角的大小為.