Question

【題目】如圖，為橢圓的左頂點(diǎn)，過的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，是的中點(diǎn).

（1）求證：點(diǎn)的橫坐標(biāo)是定值，并求出該定值；

（2）若直線過點(diǎn)，且傾斜角和直線的傾斜角互補(bǔ)，交橢圓于、兩點(diǎn)，求的值，使得的面積最大.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析，定值1. (2)

【解析】

（1）由題意可求，設(shè)、，：，聯(lián)立直線與拋物線，利用是的中點(diǎn)得，計(jì)算可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)是定值；

（2）由題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用是的中點(diǎn)，可得，根據(jù)三角形的面積公式以及基本不等式可求的面積最大值，由取等條件解得的值.

（1），過的直線和拋物線交于兩點(diǎn)，所以的斜率存在且不為0，設(shè)：，其中是斜率的倒數(shù)，設(shè)、，滿足，即，且，因?yàn)?/span>是中點(diǎn)，所以，所以，，

所以，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值1.

（2）直線的傾斜角和直線的傾斜角互補(bǔ)，所以的斜率和的斜率互為相反數(shù).設(shè)直線為，即，

聯(lián)列方程得，

，所以；且，

∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴，

設(shè)到的距離，，

，令，

當(dāng)且僅當(dāng)，時取到，

所以，.

法二：因?yàn)?/span>點(diǎn)在拋物線上，不妨設(shè)，又是中點(diǎn)，則，代入拋物線方程得：，得：，∴為定值.

（2）∵直線的斜率，直線斜率，

∴直線的方程：，即，令代入橢圓方程整理得：

，設(shè)、，下同法一.