Question

【題目】如圖1，點(diǎn)為半徑為千米的圓形海島的最東端，點(diǎn)為最北端，在點(diǎn)的正東千米處停泊著一艘緝私艇，某刻，發(fā)現(xiàn)在處有一小船正以速度 (千米/小時(shí))向正北方向行駛，已知緝私艇的速度為(千米/小時(shí)) .

(1)為了在最短的時(shí)間內(nèi)攔截小船檢查，緝私艇應(yīng)向什么方向行駛? (精確到)

(2)海島上有一快艇要為緝私艇送去給養(yǎng)，問(wèn)選擇海島邊緣的哪一點(diǎn)出發(fā)才能行程最短? (如圖2建立坐標(biāo)系， 用坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置)

Answer 1

【答案】（1）緝私艇應(yīng)向西偏北的方向行駛；（2）

【解析】

（1）由題意，設(shè)經(jīng)過(guò)小時(shí)，緝私艇在的延長(zhǎng)線上攔截小船，由，求出，得到，，進(jìn)而可求出結(jié)果；

（2）根據(jù)直線與圓位置關(guān)系，得到當(dāng)與垂直時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最小，即行程最短；設(shè)此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)（1）的結(jié)果，結(jié)合題中條件，即可得出結(jié)果.

（1）為了在最短的時(shí)間內(nèi)攔截小船檢查，緝私艇應(yīng)該在的延長(zhǎng)線上與小船相遇，

設(shè)經(jīng)過(guò)小時(shí)，緝私艇在的延長(zhǎng)線上攔截小船，

此時(shí)，，，

則有，

解得：或（舍），

此時(shí)，，因此，

則，

即緝私艇應(yīng)向西偏北的方向行駛；

（2）當(dāng)與垂直時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最小，即行程最短；

設(shè)此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由（1）可得：，，

所以，，

又圓半徑為，

所以，，

即此時(shí).