Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是軸，且過點(diǎn).

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）已知斜率為的直線交軸于點(diǎn)，且與曲線相切于點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，且直線軸， 關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，判斷點(diǎn)是否共線，并說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)答案見解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，結(jié)合拋物線過點(diǎn)可得拋物線的方程為.

(Ⅱ)設(shè)直線，聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得，由判別式等于零可得，即， ， ， ，整理計算可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為，由于，故點(diǎn)共線.

試題解析：

(Ⅰ)根據(jù)題意，可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

所以，解得，

所以拋物線的方程為.

(Ⅱ)點(diǎn)共線，理由如下：

設(shè)直線，聯(lián)立

得 (*)

由，解得，

則直線，得， ，

又關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，故，

此時，(*)可化為，解得，

故，即，

所以，即點(diǎn)共線.