Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 、、均為等邊三角形， .

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意可得，結(jié)合箏形的性質(zhì)可得，進(jìn)一步證得，結(jié)合線面垂直的判斷定理和性質(zhì)可得平面，則.最后利用線面垂直的判斷定理可得平面.

(Ⅱ)以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合題意可得，平面的法向量為，據(jù)此計(jì)算可得與平面所成角的正弦值為.

試題解析：

(Ⅰ)因?yàn)?/span>， ， 為公共邊，

所以，

所以，又，

所以，且為中點(diǎn).

又，所以，

又，所以，結(jié)合，

可得，

所以，

即，又，

故平面，又平面，所以.

又，所以平面.

(Ⅱ)以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

不妨設(shè)，易得， ，

則， ， ， ，

所以， ， ，

設(shè)平面的法向量為，則

，即，解得，

令得，

設(shè)直線與平面所成角為，則

，

所以與平面所成角的正弦值為.