Question

【題目】已知數集A={a1 ， a2 ， …，an}（1=a1＜a2＜…＜an ， n≥4）具有性質P：對任意的k（2≤k≤n），i，j（1≤i≤j≤n），使得ak=ai+aj成立．
（Ⅰ）分別判斷數集{1，2，4，6}與{1，3，4，7}是否具有性質P，并說明理由；
（Ⅱ）求證：a4≤2a1+a2+a3；
（Ⅲ）若an=72，求n的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為2=1+1，4=2+2，6=2+4，所以{1，2，4，6}具有性質P．

因為不存在ai，aj∈{1，3，4，7}，使得3=ai+aj．

所以{1，3，4，7}不具有性質P．

（Ⅱ）因為集合A={a1，a2，…，an}具有性質P，

所以對a4而言，存在ai，aj∈{a1，a2，…，an}，使得 a4=ai+aj

又因為1=a1＜a2＜a3＜a4…＜an，n≥4

所以ai，aj≤a3，所以a4=ai+aj≤2a3．

同理可得a3≤2a2，a2≤2a1

將上述不等式相加得a2+a3+a4≤2（a1+a2+a3）

所以a4≤2a1+a2+a3．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知a2≤2a1，a3≤2a2…，

又a1=1，所以a2≤2，a3≤4，a4≤8，a5≤16，a6≤32，a7≤64＜72

所以n≥8

構造數集A={1，2，4，5，9，18，36，72}（或A={1，2，3，6，9，18，36，72}），

經檢驗A具有性質P，故n的最小值為8．

【解析】（I）利用數集A具有性質P的條件分別對數集{1，2，4，6}與{1，3，4，7}逐一檢驗；（II）由題意可證a4≤2a3，a3≤2a2，a2≤2a1，進而可證a4≤2a1+a2+a3；（III）由（II）可得a2≤2，a3≤4，a4≤8，a5≤16，a6≤32，a7≤64＜72，進而可得n的取值范圍，再構造數集A，檢驗A具有性質P，進而可得n的最小值．