Question

【題目】如圖1，是等腰直角三角形，，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，,將沿DE折起，得到如圖2所示的四棱錐，使得．

圖1 圖2

（1）證明：平面平面BCD；

（2）求與平面所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）

【解析】

（1）取BC中點(diǎn)O，連接OD，OE，因?yàn)?/span>，O為BC中點(diǎn),根據(jù)題意即可求出，，由即可得到，即可說(shuō)明平面BCD,則可證明平面平面BCD.

（2）以O點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz. 則可寫(xiě)出，，，的坐標(biāo)，即可求出平面的法向量,利用公式，即可求出答案.

（1）如圖所示：

取BC中點(diǎn)O，連接OD，OE，因?yàn)?/span>，O為BC中點(diǎn),

所以

則,．

在中，，．

在中，，所以．

∵，∴平面BCD．

又平面，所以平面平面BCD．

（2）如圖所示：

以O點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，

則，，，，

所以，，

設(shè)為平面的法向量，則

，即，令，得．

又，

所以．

即與平面所成角的正弦值為．

所以與平面所成角的余弦值為