Question

【題目】如圖，某企業(yè)的兩座建筑物AB，CD的高度分別為20m和40m，其底部BD之間距離為20m．為響應創(chuàng)建文明城市號召，進行亮化改造，現(xiàn)欲在建筑物AB的頂部A處安裝一投影設(shè)備，投影到建筑物CD上形成投影幕墻，既達到亮化目的又可以進行廣告宣傳．已知投影設(shè)備的投影張角∠EAF為，投影幕墻的高度EF越小，投影的圖像越清晰．設(shè)投影光線的上邊沿AE與水平線AG所成角為α，幕墻的高度EF為y（m）．

（1）求y關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域；

（2）當投影的圖像最清晰時，求幕墻EF的高度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）分別在直角三角形中求出和，然后根據(jù)可求出最后結(jié)果；（2）當投影的圖像最清晰時，幕墻EF的高度最小，即求的最小值，利用兩角差的正切函數(shù)公式與基本不等式相結(jié)合，可得最值.

試題解析：（1）由AB=20m，CD=40m，BD=20m可得，∠CAG=,∠GAD=,

又投影設(shè)備的投影張角∠EAF為，所以，

所以G一定在EF上，所以,

所以．

（2）當投影的圖像最清晰時，幕墻EF的高度最小，即求y的最小值

由（1）得

，

因為，所以，

所以，

當且僅當，即時取等號，

又，所以滿足題意，

此時， ．

答：當時，投影的圖像最清晰，此時幕墻EF的高度為m．