Question

【題目】已知函數(shù)，，是的導(dǎo)函數(shù).

（1）若，求在處的切線方程；

（2）若在可上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（3）求證：當(dāng)時在區(qū)間內(nèi)存在唯一極大值點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進行求解即可；

（2）求函數(shù)進行求導(dǎo)，讓導(dǎo)函數(shù)大于或等于零，進行常變量分離，構(gòu)造新函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出新構(gòu)造函數(shù)單調(diào)性，最后求出的取值范圍；

（3）對再求導(dǎo)，求出該函數(shù)的單調(diào)性，進而證明函數(shù)有唯一極大值點即可.

解：（1）∵，

，又

∴在處的切線方程為；

（2）∵∴

令，，則

∵，，∴，

∴在上單調(diào)遞減，∴，

（3）∵

∴令，

∴，

顯得在上單調(diào)遞減，而

得，

取，則

故存在使

即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

也即為的極大值點

所以當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)存在唯一極大值點.