Question

【題目】對于定義域為的函數(shù)，若同時滿足下列條件：

①在內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；

②存在區(qū)間，使在上的值域為；

那么把叫閉函數(shù)．

（1）求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間；

（2）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？并說明理由；

(3)若是閉函數(shù)，求實數(shù)的范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關于的方程組，解出即可；

（2）將變形，得到的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)閉函數(shù)的定義，判定即可得到答案；

（3）根據(jù)閉函數(shù)的定義得到方程由兩個不等的實根，通過討論，得到關于的不等式組，即可求解.

（1）由題意， 在 上遞減，則，解得，

所以，所求的區(qū)間為.

（2）在 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，

所以，函數(shù)在定義域上不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)

（3）若 是閉函數(shù)，則存在區(qū)間 ，在區(qū)間上，

函數(shù)的值域為即 ，

所以為方程的兩個實數(shù)根，

即方程有兩個不等的實根

當時，有，解得

當 時，有，此不等式組無解．

綜上所述， .