Question

已知函數(shù)
(1)證明:對(duì)于一切的實(shí)數(shù)x都有f(x)x;
（2）若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍
(3)證明:

Answer 1

（1）構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性證明，（2）
(3) 利用放縮法證明

試題分析：（1）令
則            2分
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，      3分
故在單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增
所以有，從而有對(duì)一切實(shí)數(shù)成立      4分
（2）由=0得,         5分
令h(x)=                        6分
則,觀察得x=1時(shí)=0             7分
當(dāng)x>1時(shí)>0,當(dāng)0<x<1時(shí) <0,=h(1)=e+1           8分
又
函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍為      9分
(3) 由(1)知,令 …11分

=       13分
所以            14分
點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題是在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命題，將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、方程的知識(shí)融合在一起進(jìn)行考查，重點(diǎn)考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值等知識(shí)