Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝（x﹣1）ex+ax2（a∈R）．

（1）若a＝e，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；

（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】（1）3ex﹣y﹣2e＝0（2）①當(dāng)a≥0時(shí)， y＝f（x）在（﹣∞，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)；

②當(dāng)時(shí)y＝f（x） 在 （﹣∞，ln（﹣2a）），（0，+∞）上為增函數(shù)，在（ln（﹣2a），0）上為減函數(shù)；

③若時(shí)，y＝f（x）在上為單調(diào)遞增的；

④若時(shí)，y＝f（x）在（﹣∞，0），（ln（﹣2a），+∞）上為增函數(shù)，在（0，ln（﹣2a）） 上為減函數(shù)．

【解析】

（1）由a＝e得f（x）＝（x﹣1）ex+ex2．再＝xex+2ex，分別求得，f（1），用點(diǎn)斜式寫出切線方程.．

（2）根據(jù)＝x（ex+2a），分a≥0， ， ，四種情況分類討論.

（1）∵a＝e，

∴f（x）＝（x﹣1）ex+ex2．

∴＝xex+2ex，

∴＝3e，f（1）＝e．

∴y﹣e＝3e（x﹣1），

所以切線方程是3ex﹣y﹣2e＝0；

（2）∵＝x（ex+2a）

①若a≥0時(shí)，ex+2a＞0．

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，

所以y＝f（x）在（﹣∞，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)；

②若時(shí)，ln（﹣2a）＜0，

當(dāng)x＜ln（﹣2a）或x＞0，＞0，

當(dāng)ln（﹣2a）＜x＜0時(shí)，＜0，

∴y＝f（x） 在 （﹣∞，ln（﹣2a）），（0，+∞）上為增函數(shù)，在（ln（﹣2a），0）上為減函數(shù)；

③若時(shí)，ln（﹣2a）=0，＞0成立，所以y＝f（x）在上為單調(diào)遞增的；

④若時(shí)，ln（﹣2a）＞0，

當(dāng)x＞ln（﹣2a）或x＜0時(shí)，＞0，

當(dāng)0＜x＜ln（﹣2a）時(shí)，＜0，

∴y＝f（x）在（﹣∞，0），（ln（﹣2a），+∞）上為增函數(shù)，在（0，ln（﹣2a）） 上為減函數(shù)．

綜上：①若a≥0時(shí)， y＝f（x）在（﹣∞，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)；

②若時(shí)， y＝f（x） 在 （﹣∞，ln（﹣2a）），（0，+∞）上為增函數(shù)，在（ln（﹣2a），0）上為減函數(shù)；

③若時(shí)， y＝f（x）在上為單調(diào)遞增的；

④若時(shí)，y＝f（x）在（﹣∞，0），（ln（﹣2a），+∞）上為增函數(shù)，在（0，ln（﹣2a）） 上為減函數(shù)．