Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，△PAD是一個(gè)正三角形，若平面PAD⊥平面ABCD，則該四棱錐的外接球的表面積為_____.

Answer 1

【答案】.

【解析】

過P作交AD于F，取BC的中點(diǎn)G，連接PG，FG，在PF的三等分點(diǎn)H（PH＝２HF），取GF的中點(diǎn)E，在平面PFG過E，F分別作GF，PF的垂線，交于點(diǎn)O，可證O為四棱錐的外接球的球心，利用直角三角形可求半徑，即得解.

過P作交AD于F，取BC的中點(diǎn)G，連接PG，FG，在PF的三等分點(diǎn)H（PH＝２HF），取GF的中點(diǎn)E，在平面PFG過E，F分別作GF，PF的垂線，交于點(diǎn)O

因?yàn)?/span>為等邊三角形，AF=FD，所以，

因?yàn)槠矫?/span>PAD⊥平面ABCD，平面PAD 平面ABCD=AD，平面PAD

所以PF⊥平面ABCD，平面ABCD，故PF⊥GF

又四邊形ABCD為正方形，G，F為BC,AD的中點(diǎn)，故FG//CD，故AD⊥GF

因?yàn)?/span>平面PAD

在直角三角形PGF中，平面ABCD

同理OH⊥平面PAD

因?yàn)?/span>E是正方形ABCD的中心，故球心在直線OE上，

因H是的中心，故球心在直線OH上，故O為球心，OP為球的半徑

在直角三角形PGF中，

故

所以球的表面積為：

故答案為：