【題目】在長方體
中，底面
是邊長為
的正方形，
是
的中點，
是
的中點.
（1）求證：
平面
；
（2）若
，求平面與平面
所成二面角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）連接
，利用中位線定理得出
，再證明出四邊形
為平行四邊形，可得出
，進而得出
，然后利用線面平行的判定定理可得出結論；
（2）以點
為坐標原點，
、
、
所在直線分別為
、
、
軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法能計算出平面
與平面
所成二面角的余弦值，進而利用同角三角函數(shù)的基本關系可得出結果.
（1）連接，
、
分別為
、
的中點，所以，
在長方體
中，
且
，
所以，四邊形為平行四邊形，
，
，
平面，
平面，
平面；
（2）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，則
、
、
、
、
、
，
，
，
，
，
設平面的法向量為
，
由
，令
，可得
，得
，
設平面的法向量為
，
由
，令
，得
，得
，
設平面與平面所成二面角的大小為
，
，則
.
輕松暑假總復習系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出．某市為了節(jié)約生活用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理（即確定一個居民月均用水量標準：用水量不超過a的部分按照平價收費，超過a的部分按照議價收費）．為了較為合理地確定出這個標準，通過抽樣獲得了100位居民某年的月均用水量（單位：噸），制作了頻率分布直方圖，
（Ⅰ）用該樣本估計總體：
（1）估計該市居民月均用水量的平均數(shù)；
（2）如果希望86%的居民每月的用水量不超出標準，則月均用水量a的最低標準定為多少噸？
（Ⅱ）若將頻率視為概率，現(xiàn)從該市某大型生活社區(qū)隨機調查3位居民的月均用水量，其中月均用水量不超過2.5噸的人數(shù)為X，求X的分布列和均值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為了研究“教學方式”對教學質量的影響，某高中老師分別用兩種不同的教學方式對入學數(shù)學平均分數(shù)和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個高一新班進行教學（勤奮程度和自覺性都一樣）．以下莖葉圖為甲、乙兩班(每班均為20人)學生的數(shù)學期末考試成績．
（1）現(xiàn)從甲班數(shù)學成績不低于80分的同學中隨機抽取兩名同學，求成績?yōu)?7分的同學至少有一名被抽中的概率；
（2）學校規(guī)定：成績不低于75分的為優(yōu)秀．請?zhí)顚懴旅娴?×2列聯(lián)表，并判斷有多大把握認為“成績優(yōu)秀與教學方式有關”．
甲班 | 乙班 | 合計 | |
優(yōu)秀 | |||
不優(yōu)秀 | |||
合計 |
參考公式：
，其中
參考數(shù)據(jù)：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】大學生趙敏利用寒假參加社會實踐，對機械銷售公司7月份至12月份銷售某種機械配件的銷售量及銷售單價進行了調查，銷售單價
和銷售量
之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：
月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
銷售單價 | 9 | 9.5 | 10 | 10.5 | 11 | 8 |
銷售量 | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 | 14 |
（1）根據(jù)7至11月份的數(shù)據(jù)，求出
關于
的回歸直線方程；
（2）若由回歸直線方程得到的估計數(shù)據(jù)與剩下的檢驗數(shù)據(jù)的誤差不超過0.5元，則認為所得到的回歸直線方程是理想的，試問（1）中所得到的回歸直線方程是否理想？
（3）預計在今后的銷售中，銷售量與銷售單價仍然服從（1）中的關系，若該種機器配件的成本是2.5元/件，那么該配件的銷售單價應定為多少元才能獲得最大利潤？（注：利潤=銷售收入-成本）．
參考公式：回歸直線方程
，其中
，參考數(shù)據(jù)： 
．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某校為了了解高一新生是否愿意參加軍訓，隨機調查了80名新生，得到如下2×2列聯(lián)表
愿意 | 不愿意 | 合計 | |
男 | x | 5 | M |
女 | y | z | 40 |
合計 | N | 25 | 80 |
（1）寫出表中x，y，z，M，N的值，并判斷是否有99.9%的把握認為愿意參加軍訓與性別有關；
（2）在被調查的不愿意參加軍訓的學生中，隨機抽出3人，記這3人中男生的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．
參考公式：
附：
P（K2≥k0） | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知x＝﹣1是函數(shù)f（x）
x3
（a2+a﹣3）x2+（2a+2）x的極大值點，則實數(shù)a＝（ ）
A.0B.0或﹣3C.0或3D.﹣3
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f（x）＝（x﹣1）ex+ax2（a∈R）．
（1）若a＝e，求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調性．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】微信運動是由騰訊開發(fā)的一個類似計步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號，很多手機用戶加入微信運動后，為了讓自己的步數(shù)能領先于朋友，運動的積極性明顯增強．微信運動公眾號為了解用戶的一些情況，在微信運動用戶中隨機抽取了100名用戶，統(tǒng)計了他們某一天的步數(shù)，數(shù)據(jù)整理如下：
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| 5 | 20 | 50 | 18 | 3 | 3 | 1 |
（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的坐標平面中作出其頻率分布直方圖，并在縱軸上標明各小長方形的高；
（Ⅱ）若視頻率分布為概率分布，在微信運動用戶中隨機抽取3人，求至少2人步數(shù)多于1.2萬步的概率；
（Ⅲ）若視頻率分布為概率分布，在微信運動用戶中隨機抽取2人，其中每日走路不超過0.8萬步的有
人，超過1.2萬步的有
人，設
，求的分布列及數(shù)學期望．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線Γ：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，P是拋物線Γ上一點，且在第一象限，滿足
（2，2
）
（1）求拋物線Γ的方程；
（2）已知經過點A（3，﹣2）的直線交拋物線Γ于M，N兩點，經過定點B（3，﹣6）和M的直線與拋物線Γ交于另一點L，問直線NL是否恒過定點，如果過定點，求出該定點，否則說明理由．
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