Question

已知函數(shù)，
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程有且只有一個解，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）當且，時，若有，求證：.

Answer 1

（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為和；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）對求導(dǎo)可得，令，或，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系可知，所以遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；
（2）若方程有解有解，則原問題轉(zhuǎn)化為求f（x）的值域，而m只要在f（x）的值域內(nèi)即可，由（1）知，， 方程有且只有一個根，又的值域為，;
（3）由（1）和（2）及當，時，有，不妨設(shè)，
則有，，又，
即，同理，又，，且在上單調(diào)遞減，
，即.
試題解析：（1），令，即，解得，
令，即，解得，或，
的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為和.        4分
（2）由（1）知，，    6分
方程有且只有一個根，又的值域為，由圖象知
                        8分
（3）由（1）和（2）及當，時，有，不妨設(shè)，
則有，，又，
即，                         11分
，又，，且在上單調(diào)遞減，
，即.                      13分