Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（Ⅲ）求證：（，e是自然對數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）實(shí)數(shù)a的取值范圍是；（Ⅲ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即判斷在各個(gè)區(qū)間上的符號(hào),只需對求導(dǎo)即可；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即恒成立，令 （），只需求出最大值,讓最大值小于等于零即可,可利用導(dǎo)數(shù)求最值,從而求出的取值范圍；（Ⅲ）要證（成立,即證,即證,由（Ⅱ）可知當(dāng)時(shí)，在上恒成立，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240217509421025.png" style="vertical-align:middle;" />,從而證出.
試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，（），（），
由解得，由解得,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（Ⅱ）因當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即恒成立，設(shè) （），只需即可．由，
（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故 成立；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，因，所以，①若，即時(shí)，在區(qū)間上，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在 上無最大值（或：當(dāng)時(shí)，），此時(shí)不滿足條件；②若，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣 在上無最大值，不滿足條件 ；
（ⅲ）當(dāng)時(shí)，由，∵，∴，
∴，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
（Ⅲ）據(jù)（Ⅱ）知當(dāng)時(shí)，在上恒成立，又，
∵ 
 ，∴．