Question

設(shè)函數(shù)（，為常數(shù)）
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）若，證明：當(dāng)時，.

Answer 1

①②見題解析

試題分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分類討論二次函數(shù)的零點情況,確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值區(qū)間,進(jìn)一步確定原函數(shù)的單調(diào)性. （Ⅱ）先把原不等式等價轉(zhuǎn)化為,由于我們只能運用求導(dǎo)的方法來研究這個函數(shù)的值域,而此函數(shù)由于求導(dǎo)后不能繼續(xù)判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間,故利用均值不等式進(jìn)行放縮, 后,函數(shù)可以通過求導(dǎo)研究值域,且 恒成立是恒成立的充分條件,注意需要二次求導(dǎo).
試題解析：（Ⅰ）的定義域為， ，
（1）當(dāng)時，解得或；解得
所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)時，對恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（3）當(dāng)時，解得或；解得
所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. ……（6分）
（Ⅱ）證明:不等式等價于
因為， 所以 ，
因此    
令， 則
令得：當(dāng)時，
所以在上單調(diào)遞減，從而. 即，
在上單調(diào)遞減，得:，
 當(dāng)時，.. ……（12分）