Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝lnx，a∈R．

（1）若x＝2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求曲線(xiàn)y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程；

（2）若x＞1時(shí)，f（x）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) x+8y﹣1＝0，(2) （﹣∞，2]．

【解析】

（1）由x＝2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，可得，f′（2）＝0，代入可求a，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解，

（2）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論即可求解．

（1）∵f′（x），

由x＝2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，可得，f′（2）＝0，

∴a，

∴y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)斜率k＝f′（1），

又f（1）＝0

故y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程y即x+8y﹣1＝0，

（2）若a≤2，x＞1時(shí)，f′（x）0，

∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）＞f（1）＝0，符合題意，

若a＞2，方程x2+（2﹣2a）+1＝0的△＝4a2﹣8a＞0，

∴x2+（2﹣2a）+1＝0有兩個(gè)不等的根，設(shè)兩根分別為x1，x2，且x1＜x2，

∵x1+x2＝2a﹣2，x1x2＝1，

∴0＜x1＜1＜x2，＜0，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈（1，x2）時(shí)，x2+（2﹣2a）+1＜0，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，

f（x）＜f（1）＝0，不符合題意，

綜上可得，a的范圍（﹣∞，2]．