Question

函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=

x2+x+4

x

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先由奇偶性尋求f（-x）與f（x）的關(guān)系，再設(shè)x＜0，則-x＞0，按照求函數(shù)值求解；
（2）用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，確定單調(diào)區(qū)間求得值域．

解答：解：（1）∵f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）（1分）
設(shè)x＜0，則-x＞0，f（-x）=

(-x)2+(-x)+4

-x

=

x2-x+4

-x

∴f(x)=-

x2-x+4

x

（3分）
∴f(x)=

x2+x+4 x        (x＞0) - x2-x+4 x     (x＜0)

（4分）
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=

x2+x+4

x

=x+

4

x

+1，f′(x)=1-

4

x2

（6分）
令f'（x）=0?x=2
∴當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，
x∈（2，+∞）時(shí)，f'（0）＞0，f（x）是增函數(shù)，（8分）
且函數(shù)f（x）在此區(qū)間上有極小值y_極小=f（2）=5
又f（x）是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱
∴x＜0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（-2，0），減區(qū)間為（-∞，-2）（10分）
綜上所述，f（x）在區(qū)間（-∞，-2）和（0，2）上是減函數(shù)
在區(qū)間（-2，0）和（2，+∞）上是增函數(shù)，值域?yàn)閒（x）∈[5，+∞）（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查奇偶性求對(duì)稱區(qū)間上的解析式和求值域或最值時(shí)要先研究函數(shù)的單調(diào)性的解題習(xí)慣．