Question

【題目】已知數(shù)列，如果存在常數(shù)p，使得對任意正整數(shù)n，總有成立，那么我們稱數(shù)列為“p-擺動數(shù)列”．

（Ⅰ）設，，，判斷、是否為“p-擺動數(shù)列”，并說明理由；

（Ⅱ）已知“p-擺動數(shù)列”滿足，，求常數(shù)p的值；

（Ⅲ）設，且數(shù)列的前n項和為，求證：數(shù)列是“p-擺動數(shù)列”，并求出常數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）數(shù)列不是“p-擺動數(shù)列”，數(shù)列是“p-擺動數(shù)列”，詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析，p的取值范圍是.

【解析】

（Ⅰ）假設數(shù)列是“p-擺動數(shù)列”，通過對取特殊值，可以證明出數(shù)列不是“p-擺動數(shù)列”；

通過數(shù)列的通項公式和指數(shù)運算的法則，結合“p-擺動數(shù)列”的定義，可以證明出數(shù)列是“p-擺動數(shù)列”；

（Ⅱ）利用遞推公式，可以求出的值，由是“p-擺動數(shù)列”，這樣可以求出常數(shù)p的取值范圍，通過是“p-擺動數(shù)列”的定義，可以得到奇數(shù)項、偶數(shù)項與p的大小關系，這樣利用通項公式最后可以求出常數(shù)p的值；

（Ⅲ）分類討論：分別當n為偶數(shù)時、當n為奇數(shù)時，求出，最后確定的表達式，根據(jù)“p-擺動數(shù)列”的定義，可以證明數(shù)列是“p-擺動數(shù)列，分別當n為奇數(shù)時、當n為偶數(shù)時，利用的單調(diào)性，求出常數(shù)p的取值范圍即可．

解：（Ⅰ）假設數(shù)列是“p-擺動數(shù)列”，

即存在常數(shù)p，總有對任意成立，

不妨取時，則；取時，則，顯然常數(shù)p不存在，

所以數(shù)列不是“p-擺動數(shù)列”

由，于是對任意成立，其中．

所以數(shù)列是“p-擺動數(shù)列”．

（Ⅱ）由數(shù)列為“p-擺動數(shù)列”，又，

所以，即存在常數(shù)，使對任意，總有成立，及，所以．

因為，所以．

同理因為，所以．所以，即，

解得，即．

同理，解得，即．

綜上．

（Ⅲ）證明：由，．

當n為偶數(shù)時，；

當n為奇數(shù)時，．

所以，．

顯然存在，使對任意正整數(shù)n，總有成立，

所以數(shù)列是“p-擺動數(shù)列”．

當n為奇數(shù)時，因為，單調(diào)遞減，所以，只要即可．

當n為偶數(shù)時，單調(diào)遞增，，只要即可．

綜上，，所以p的取值范圍是．