Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求證：當(dāng)時(shí)，對任意都有；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1），令，求導(dǎo)得單調(diào)遞減， 單調(diào)遞增， ，即；（2）令，則有兩個(gè)變號零點(diǎn)，且，通過分類討論得， .

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， 顯然成立；

當(dāng)時(shí)， ；

令， ，則，

可得， ， 減； ， ， 增；

故時(shí)， ，

綜上，任意都有，得證.

（2）函數(shù)定義域?yàn)?/span>，令，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)變號零點(diǎn)，且，

當(dāng)時(shí)， 在上恒成立，函數(shù)在上單增， 至多有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，令，可得，且，

，即函數(shù)在單減，在單增，

若條件成立，則必有 ，此時(shí)，

下證： 時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)

由于，故，即在有唯一零點(diǎn)，記為；

易得時(shí)， ，且 ，

令，則，由（1）可得大于0恒成立，從而，

即，故在有唯一零點(diǎn)，記為，

從而， ， ； ， ； ，

綜上，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)， .