Question

【題目】雙曲線x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2 ， 直線l過F2且與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若l的傾斜角為 ，△F1AB是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；
（2）設(shè)b= ，若l的斜率存在，M為AB的中點(diǎn)，且 =0，求l的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）

解：雙曲線x2﹣ =1（b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，a=1，c2=1+b2，

直線l過F2且與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，

直線l的傾斜角為 ，△F1AB是等邊三角形，

可得：A（c，b2），可得： ，

∴3b4=4（a2+b2），

即3b4﹣4b2﹣4=0，

b＞0，解得b2=2．

所求雙曲線方程為：x2﹣ =1，

其漸近線方程為y=± x

（2）

解：b= ，雙曲線x2﹣ =1，可得F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0）．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線的斜率為：k= ，

直線l的方程為：y=k（x﹣2），

由直線與雙曲線聯(lián)立消去y可得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，

△=36（1+k2）＞0，

可得x1+x2= ，

則y1+y2=k（x1+x2﹣4）=k（ ﹣4）= ．

M為AB的中點(diǎn)，且 =0，可得：（x1+x2+4，y1+y2）（x1﹣x2，y1﹣y2）=0，

可得x1+x2+4+（y1+y2）k=0，

得 +4+ k=0

可得：k2= ，

解得k=± ．

l的斜率為：±

【解析】（1）利用直線的傾斜角，求出AB，利用三角形是正三角形，求解b，即可得到雙曲線方程．（2）求出左焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，推出A、B坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為0，即可求值直線的斜率．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了雙曲線的概念的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)稱為雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為雙曲線的焦距才能正確解答此題．