Question

【題目】在平面直角坐標系xOy內(nèi)，動點P到定點F（﹣1，0）的距離與P到定直線x=﹣4的距離之比為 ．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）設點A、B是軌跡C上兩個動點，直線OA、OB與軌跡C的另一交點分別為A1、B1 ， 且直線OA、OB的斜率之積等于- ，問四邊形ABA1B1的面積S是否為定值？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設P（x，y），由題意可得， ，

化簡得3x2+4y2=12，

所以，動點P的軌跡C的方程為

（2）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，得 ，

，

因為點A、B在橢圓C上，

所以 ， ，

所以， = ，

化簡得 ．

① 當x1=x2時，則四邊形ABA1B1為矩形，y2=﹣y1，則 ，

由 ，得 ，

解得 ， ，S=|AB||A1B|=4|x1||y1|= ；

②當x1≠x2時，直線AB的方向向量為 ，

直線AB的方程為（y2﹣y1）x﹣（x2﹣x1）y+x2y1﹣x1y2=0，

原點O到直線AB的距離為 ，

所以△AOB的面積 ，

根據(jù)橢圓的對稱性，四邊形ABA1B1的面積S=4S△AOB=2|x1y2﹣x2y1|，

所以，

= ，

所以 ．

所以，四邊形ABAB1的面積為定值

【解析】（1）設P（x，y），由點到直線的距離公式和兩點的距離公式，可得， ，化簡即可得到所求軌跡方程；（2）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），運用兩點的距離公式和斜率公式，結(jié)合點A、B在橢圓C上，可得x12+x22=4，討論①當x1=x2時，則四邊形ABA1B1為矩形；②當x1≠x2時，通過三角形的面積公式和橢圓的對稱性，即可得到所求面積為定值．