Question

【題目】將三棱錐與拼接得到如圖所示的多面體，其中，，，分別為，，，的中點，.

（1）當點在直線上時，證明：平面；

（2）若與均為面積為的等邊三角形，求該多面體體積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）利用面面平行的判定定理得出平面平面，再由面面平行的性質(zhì)得出平面；

（2）將多面體的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐與的體積和，由于三棱錐和的底面積一定，則高同時達到最大值時，多面體的體積最大，當平面平面時，由面面垂直的性質(zhì)得出三棱錐和的高，利用棱錐的體積公式計算即可.

（1）證明：∵、、為中點

∴，

又∵

∴

∵平面，平面

∴平面

同理平面

平面

∴平面平面

∵，∴平面

∴平面

（2）

易知平面

故

連接，當平面平面時

∵是的中點

∴在正三角形、中

，，平面與平面的交線為

平面，平面

∴平面，平面

∴平面

此時，三棱錐和的高同時達到最大值

此時

由，是面積為的正三角形

可得

，

∴此時.

故該多面體體積的最大值為.