Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝e^x－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值；
(2)求證：當(dāng)a>ln2－1且x >0時(shí)，e^x>x²－2ax＋1

Answer 1

(1)     (2)見(jiàn)解析

試題分析：(1)首先求出的導(dǎo)數(shù)，解方程，進(jìn)一步得到不等式與的解集，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.
(2)欲證當(dāng)a>ln2－1且x >0時(shí)，e^x>x²－2ax＋1，
令
則只需證當(dāng)時(shí)，
從而轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求的最小值問(wèn)題.
試題解析：解：（1）由知
令得于是當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

	－	0	+
	單調(diào)遞減		單調(diào)遞增

 
故的單調(diào)遞減區(qū)間是，間調(diào)遞增區(qū)間是
在處取得極小值，極小值為                  6分
（2）設(shè)，于是
由（1）知，當(dāng)時(shí)，
最小值為
于是對(duì)任意的，都有，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.
于是當(dāng)時(shí)，對(duì)任意
都有
而，從而對(duì)任意，
即：故，            14分