Question

（本小題滿分13分）
已知數(shù)列滿足：，
（I）求得值；
（II）設(shè)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；
（III）對(duì)任意的，在數(shù)列中是否存在連續(xù)的項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，寫出這項(xiàng)，并證明這項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140027798948.gif" style="vertical-align:middle;" />，
       ………………3分
（II）由題意，對(duì)于任意的正整數(shù)，
所以           ………………4分
又
所以          ………………6分
又       ………………7分
所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以………………8分
（III）存在，事實(shí)上，對(duì)任意的中，
這連續(xù)的項(xiàng)就構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列………………10分
我們先來證明：
“對(duì)任意的”
由（II）得
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，
記
因此要證
其中
（這是因?yàn)槿?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140028110876.gif" style="vertical-align:middle;" />時(shí)，則k一定是奇數(shù)）
有


如此遞推，要證
其中
如此遞推下去，我們只需證明
即，由（I）可得，
所以對(duì)
對(duì)任意的

所以
又
所以這連續(xù)的項(xiàng)，
是首項(xiàng)為的等差數(shù)列。 ………………13分
說明：當(dāng)時(shí)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140029015635.gif" style="vertical-align:middle;" />構(gòu)成一個(gè)項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，所以從這個(gè)數(shù)列中任取連續(xù)的項(xiàng)，也是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列。

略