Question

【題目】已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，其中常數(shù)，，設(shè)．

（Ⅰ）用，表示，；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求證：對(duì)任意的．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見(jiàn)解析，（Ⅲ）詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題（Ⅰ）由題意得：，．因?yàn)?/span>，所以．.對(duì)抽象的求和符號(hào)具體化處理,是解答本題的關(guān)鍵.（Ⅱ）而

，（Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)自然數(shù)的命題. （1）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）問(wèn)知是整數(shù)，結(jié)論成立．（2）假設(shè)當(dāng)（）時(shí)結(jié)論成立，即都是整數(shù)，由（Ⅱ）問(wèn)知．即時(shí)，結(jié)論也成立．

解：（Ⅰ）由，．

因?yàn)?/span>，所以．

． 3分

（Ⅱ）由，得

．

即，同理，．

所以．

所以． 8分

（Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法證明．

（1）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）問(wèn)知是整數(shù)，結(jié)論成立．

（2）假設(shè)當(dāng)（）時(shí)結(jié)論成立，即都是整數(shù)．

由，得．

即．

所以，．

所以．

即．

由都是整數(shù)，且，，所以也是整數(shù)．

即時(shí)，結(jié)論也成立．

由（1）（2）可知，對(duì)于一切，的值都是整數(shù)． 13分