Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，點(diǎn),分別是橢圓的左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、（、都在軸上方）．且．證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意，知，可知 由橢圓的定義知,的周長(zhǎng)為，進(jìn)而求解；（2）設(shè)直線和橢圓聯(lián)立得到二次方程，，∴，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，整理可得根據(jù)韋達(dá)定理，整理上式得到，從而求解.

（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題意，知，可知，

由橢圓的定義知,的周長(zhǎng)為，∴，故

∴橢圓的方程為

（2）由題意知，直線的斜率存在且不為0。設(shè)直線

設(shè)，

把直線代入橢圓方程，整理可得,，即

∴，，

∵，

∵、都在軸上方．且，∴，

∴，即,代入

整理可得，

即，整理可得，

∴直線為，∴直線過定點(diǎn)