Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量 =（a+b，sinA﹣sinC），且 =（c，sinA﹣sinB），且 ∥ ．
（1）求角B的大��；
（2）若a+c=8，求AC邊上中線(xiàn)長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵向量 =（a+b，sinA﹣sinC），且 =（c，sinA﹣sinB），且 ∥ ，

∴c（sinA﹣sinC）﹣（a+b）（sinA﹣sinB）=0，

由正弦定理可得：c（a﹣c）﹣（a+b）（a﹣b）=0，化為a2+c2﹣b2=ac，

∴cosB= = ，

∵B∈（0，π），

∴B= ．

（2）解：設(shè)AC邊上的中點(diǎn)為E，由余弦定理得：（2BE）2=c2+a2﹣2cacos120°=（a+c）2﹣ac=64﹣ac≥64﹣ =48，當(dāng)a=c時(shí)取到”=”．

∴ ．

∴AC邊上中線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為2

【解析】（1）由 ∥ ，可得c（sinA﹣sinC）﹣（a+b）（sinA﹣sinB）=0，再利用正弦定理余弦定理即可得出．（2）設(shè)AC邊上的中點(diǎn)為E，由余弦定理得：（2BE）2=c2+a2﹣2cacos120°=（a+c）2﹣ac=64﹣ac，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正弦定理的定義的相關(guān)知識(shí)，掌握正弦定理:．