Question

【題目】已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn)，離心率為， ， 是橢圓的長軸的兩個(gè)端點(diǎn)（位于右側(cè)），是橢圓在軸正半軸上的頂點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)和，使得向量與共線？如果存在，求出直線方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在

【解析】試題分析：（1）依題意得解得， .

所以橢圓的方程為.（2）假設(shè)存在過點(diǎn)且斜率為的直線適合題意，則因?yàn)橹本�的方程為： ，于是聯(lián)立方程， .由直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)和知，

， .令， ， ，由韋達(dá)定理得出結(jié)論， ，根據(jù)向量與共線，可得， ，這與矛盾.

試題解析：

（1）設(shè)橢圓的方程為，

.依題意得解得， .

所以橢圓的方程為.

（2）假設(shè)存在過點(diǎn)且斜率為的直線適合題意，則因?yàn)橹本�的方程為： ，于是聯(lián)立方程， .

由直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)和知，

， .

令， ， ，

， ，

，

由題知， ， .

從而，根據(jù)向量與共線，可得， ，這與矛盾.

故不存在符合題意的直線.