Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）若，求函數(shù)的極小值；

（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若在區(qū)間上存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍，（）

Answer 1

【答案】（1）1；（2）詳見解析；（3）：或.

【解析】試題分析：（1），第一步求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，第二步求極值點(diǎn)，分析零點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性，求得極小值；（2）， ，函數(shù)的定義域是，所以討論和0的大小關(guān)系，分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）根據(jù)（2）將問題轉(zhuǎn)化為，使，討論極值點(diǎn)與定義域的關(guān)系，分三種情況討論函數(shù)的最小值，令 ，求實(shí)數(shù).

試題解析：（1）的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，，

	（0,1）	1
	-	0	+
		極小值

所以在處取得極小值1.

（2），

，

①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上，在上，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)，即時(shí)，在上，

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增.

綜上所述，①當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，不存在減區(qū)間.

（3）在上存在一點(diǎn)，使得成立，即

在上存在一點(diǎn)，使得，即

函數(shù)在上的最小值小于零.

由（2）可知

①即，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，

所以的最小值為，由可得.

所以；

②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增.

所以最小值為，由可得；

③當(dāng)，即時(shí)，可得最小值為，

因?yàn)?/span>，所以，，

故，此時(shí)，不成立.

綜上討論可得所求的范圍是：或.