Question

【題目】已知函數(shù)，且.

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）若對(duì)任意，都有，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明函數(shù)的圖象在圖象的下方.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得，由求出的值即可得到函數(shù)的解析式；（Ⅱ），構(gòu)造函數(shù)，則，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)即可；（Ⅲ）“函數(shù)的圖象在圖象的下方”等價(jià)于“恒成立”，由（Ⅱ）可得即，所以只要證即，構(gòu)造函數(shù)，證明在區(qū)間上，即可.

試題解析： （Ⅰ）易知，所以，又………………1分

∴……………………………2分

∴.…………………………3分

（Ⅱ）若對(duì)任意的，都有，

即恒成立，即：恒成立………………4分

令，則，…………………………6分

當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減；……………………8分

∴時(shí)，有最大值，

∴，即的取值范圍為.…………………………10分

（Ⅲ）要證明函數(shù)的圖象在圖象的下方，

即證：恒成立，

即：………………………11分

由（Ⅱ）可得：，所以，

要證明，只要證明，即證：………………12分

令，則，

當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，

∴，

即，……………13分

所以，從而得到，

所以函數(shù)的圖象在圖象的下方.…………14分