Question

（本題滿分15分）已知橢圓的離心率為，橢圓上任意一點到右焦點的距離的最大值為。
（I）求橢圓的方程；
（II）已知點是線段上一個動點（為坐標原點），是否存在過點且與軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點，使得，并說明理由。

Answer 1

（I）；
（II）當時，，即存在這樣的直線；
當，不存在，即不存在這樣的直線

（1）因為， 所以，     …………（4分）
，橢圓方程為：                …………（6分）
（2）由(1)得，所以，假設(shè)存在滿足題意的直線，設(shè)的方程為，代入，得
設(shè)，則 ①， …………（10分）

設(shè)的中點為，則，
即

當時，，即存在這樣的直線；
當，不存在，即不存在這樣的直線             …………（15分）