Question

【題目】橢圓 =1上有一點(diǎn)M（﹣4， ）在拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)l上，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)也是橢圓焦點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)N在拋物線(xiàn)上，過(guò)N作準(zhǔn)線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為Q，求|MN|+|NQ|的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =1上的點(diǎn)M在拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)l上，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)也是橢圓焦點(diǎn)．

∴c=﹣4，p=8…①

∵M(jìn)（﹣4， ）在橢圓上，∴ …②

又∵a2=b2+c2…③

∴由①②③解得：a=5、b=3，

∴橢圓為 ；

由p=8得拋物線(xiàn)為y2=16x

（2）解：設(shè)橢圓焦點(diǎn)為F（4，0），由橢圓定義得|NQ|=|NF|，

∴|MN|+|NQ|=|MN|+|NF|≥|MF|= ，即為所求的最小值．

【解析】（1）由題意求得c=﹣4，得到p=8，再由點(diǎn)M（﹣4， ）在橢圓上，結(jié)合隱含條件求得a，b的值，則橢圓方程和拋物線(xiàn)方程可求；（2）由題意畫(huà)出圖形，由拋物線(xiàn)定義把|MN|+|NQ|的最小值轉(zhuǎn)化為|MF|求解．