Question

【題目】矩形中， ， ，點(diǎn)為中點(diǎn)，沿將折起至，如下圖所示，點(diǎn)在面的射影落在上.

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)射影可得面面垂直，再有面面垂直的性質(zhì)得線(xiàn)面垂直，從而；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)且平行于的直線(xiàn)為軸，過(guò)點(diǎn)且平行于的直線(xiàn)為軸，直線(xiàn)為軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系．利用空間向量計(jì)算二面角．

試題解析：（Ⅰ）由條件，點(diǎn)在平面的射影落在上

平面平面，易知

平面，而平面

（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)且平行于的直線(xiàn)為軸，過(guò)點(diǎn)且平行于的直線(xiàn)為軸，直線(xiàn)為軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系．

則， ， ，

設(shè)平面的法向量為

則，即，令，可得

設(shè)平面的法向量為

則，即，令，可得

考慮到二面角為鈍二面角，則二面角的余弦值為．