Question

【題目】如圖，四棱錐 底面為正方形，已知 ，，點 為線段 上任意一點（不含端點），點 在線段 上，且 ．

（1）求證：；

（2）若 為線段 中點，求直線 與平面 所成的角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）延長，交于點，由相似三角形的性質可知 ，從而得，利用線面平行的判定定理可得直線平面；（2）由于 ，， 兩兩垂直，所以，以為軸建立空間直角坐標系，設 ，求出相關點的坐標及直線 的方向向量，根據向量垂直數量積為零列方程組，求出平面 的一個法向量，空間向量夾角余弦公式，可求解 與平面 夾角的正弦值，進而可求余弦值.

試題解析：（1） 延長 ，交 于點 ，連接 ，

由相似知 ，可得：，

，，

則 ．

（2） 由于 ，， 兩兩垂直，

以 ，， 為 ，， 軸建立空間直角坐標系，

設 ，則 ，，，，，

則 ，平面 的法向量為 ，

設向量 與 的夾角為 ，則 ，

則 與平面 夾角的余弦值為 ．

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理以及利用空間向量求線面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.