Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，且最小值為0.

（1）求曲線(xiàn)C的方程；

（2）若動(dòng)直線(xiàn)均與橢圓C相切，且，試探究在x軸上是否存在定點(diǎn)B，使得點(diǎn)B到的距離之積恒為1？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1） ;（2） 定點(diǎn)B為（-1,0）和（1,0）.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)，代入向量的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)最小值可得的值，而，這樣求得橢圓方程;（2）當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)其方程分別為y=kx+m，y=kx+n，得到，直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立，得到，又代入點(diǎn)到直線(xiàn)的距離之積等于1，化簡(jiǎn)后等式恒成立，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，驗(yàn)證當(dāng)兩條直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，同樣滿(mǎn)足.

試題解析：（1）設(shè)P（x,y），則有

，

由的最小值為0得，∴，

∴橢圓C的方程為.

（2）①當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)其方程分別為y=kx+m，y=kx+n，

把的方程代入橢圓方程得，

∵直線(xiàn)與橢圓C相切，，

化簡(jiǎn)得，同理，，∴，若m=n，則重合，不合題意，∴m=-n，

設(shè)在x軸上存在點(diǎn)B（t,0），點(diǎn)B到直線(xiàn)的距離之積為1，則

，即，

把代入并去絕對(duì)值整理得：或，

前式顯然不恒成立；而要使得后式對(duì)任意的恒成立，則，解得.

②當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，其方程為和，定點(diǎn)（-1,0）到直線(xiàn)的距離之積為，

綜上所述，滿(mǎn)足題意的定點(diǎn)B為（-1,0）和（1,0）.