Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）令f(x)=0，變形為，有兩種解題思種，一是換元令，則，變形為關(guān)于的方程有正根，分,,討論。二是分離參數(shù),只需求右邊的值域即可。（2）變形為，，恒成立。當(dāng)，，即，。

試題解析：（1）由函數(shù)有零點(diǎn)得：關(guān)于的方程（）有解

令，則

于是有，關(guān)于的方程有正根

設(shè)，則函數(shù)的圖象恒過(guò)點(diǎn)且對(duì)稱(chēng)軸為

當(dāng)時(shí)，的圖象開(kāi)口向下，故恰有一正數(shù)解

當(dāng)時(shí)，，不合題意

當(dāng)時(shí)，的圖象開(kāi)口向上，故有正數(shù)解的條件是

解得：

綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（2）由“當(dāng)時(shí)，都有”得：

，②

∵，故②變形為：

當(dāng)時(shí)，不等式②簡(jiǎn)化為，此時(shí)實(shí)數(shù)

當(dāng)時(shí)，有

∴

∴，

∵當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

∴

綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍.