Question

【題目】如圖，海上有、兩個(gè)小島相距，船將保持觀望島和島所成的視角為，現(xiàn)從船上派下一只小艇沿方向駛至處進(jìn)行作業(yè)，且．設(shè)．

（1）用分別表示和，并求出的取值范圍；

（2）0晚上小艇在處發(fā)出一道強(qiáng)烈的光線照射島，島至光線的距離為，求的最大值．

Answer 1

【答案】(1),,；(2).

【解析】

試題分析：(1)中利用兩個(gè)余弦定理得到兩個(gè)式子，分別作和和差即可得到和關(guān)于的表達(dá)式，考慮及得到的取值范圍；（2）中首先求出關(guān)于的表達(dá)式，求出導(dǎo)數(shù)繼而判斷增減性，最后求出最大值．

試題解析：⑴在中，，，

由余弦定理得，，

又，所以①…………1分

在中，，

由余弦定理得，

②………………………………3分

得，

得，即，……4分

又，所以，即，

又，即，所以…………6分

⑵易知，

故………………8分

又，設(shè)，

所以，，……………………9分

又，………………………………………… 10分

則在上是增函數(shù)，

所以的最大值為，即的最大值為．………………12分

（利用單調(diào)性定義證明在上是增函數(shù)，同樣給滿分；如果直接說(shuō)出在上是增函數(shù)，但未給出證明，扣分．