Question

【題目】已知F1 ， F2是橢圓C： + =1的左、右焦點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)M在橢圓C上，且∠F1MF2=60°，求△F1MF2的面積；
（2）動(dòng)直線y=k（x+1）與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)T（t，0），問是否存在t∈R，使得 為定值，若存在求出t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a2=5，b2= ，c2=a2﹣b2= ，

設(shè)丨PF1丨=m，丨PF2丨=n，

∵ ，解得：mn= ，

∴△F1MF2的面積S，S= mnsin60°=

（2）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

∴ ，化簡(jiǎn)得：（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0

由韋達(dá)定理可知：x1+x2= ，x1x2= ，

由直線恒過橢圓內(nèi)一點(diǎn)（﹣1，0），則定有兩個(gè)交點(diǎn)，

∵ =（x1﹣t，y1）， =（x2﹣t，y2），

∴ =（x1﹣t，y1）（x2﹣t，y2）=x1x2﹣t（x1+x2）+t2+y1y2，

=x1x2﹣t（x1+x2）+t2+k2[x1x2+（x1+x2）+1]，

= ，

令 =3，解得：t=﹣ ，

故存在，t=﹣

【解析】（1）由題意可知，求得a，b和c的值，設(shè)丨PF1丨=m，丨PF2丨=n，根據(jù)橢圓的定義即可求得mn= ，由三角形的面積公式，即可求得S= mnsin60°= ；（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理求得x1+x2 ， x1x2 ， =（x1﹣t，y1）， =（x2﹣t，y2），根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示， =（x1﹣t，y1）（x2﹣t，y2）=x1x2﹣t（x1+x2）+t2+y1y2 ， =3，即可求得t=﹣ ，故存在在t∈R，使得 為定值．