Question

【題目】已知函數f（x）=（x∈R）．

（1）證明：當a＞3時，f（x）在R上是減函數；

（2）若函數f（x）存在兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據題意，由分段函數的解析式依次分析f（x）的兩段函數的單調性以及最值，結合函數單調性的定義分析可得答案；

（2）根據題意，函數的解析式變形可得f（x）=3|x-1|-a，分析可得若函數f（x）存在兩個零點，即函數f（x）=3|x-1|與函數y=ax有2個不同的交點，結合函數y=3|x-1|的圖象分析可得答案．

（1）證明：根據題意，函數f（x）= ，

若a＞3，則當x≥1時，f（x）=（3-a）x-3，有（3-a）＜0，

此時f（x）為減函數，且f（x）≤f（1）=-a，

當x＜1時，f（x）=-（3+a）x+3，有-（3+a）＜0，

此時f（x）為減函數，且f（x）＞f（1）=-a，

故當a＞3時，f（x）為減函數；

（2）根據題意，f（x）= =3|x-1|-a，

若函數f（x）存在兩個零點，

即函數f（x）=3|x-1|與函數y=ax有2個不同的交點，

則有0＜a＜3，

即a的取值范圍為（0，3）