Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸，且過點(diǎn)，過的直線交拋物線于，兩點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)直線是拋物線的準(zhǔn)線，求證：以為直徑的圓與直線相切.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見詳解.

【解析】

（1）根據(jù)題意，設(shè)出拋物線方程，根據(jù)拋物線經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，即可求得；

（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式和直線與圓位置關(guān)系的判斷方法，即可求證.

（1）由題可設(shè)拋物線方程為，

因?yàn)閽佄锞�過點(diǎn)，故可得，解得，

故拋物線方程為.

（2）由拋物線方程可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的方程為.

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，

聯(lián)立拋物線方程，可得，或，

不妨設(shè).

則以為直徑的圓的圓心為，半徑，

又圓心到直線的距離為，

故此時(shí)滿足以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，容易知，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立拋物線方程，可得.

設(shè)，

則.

則以為直徑的圓的圓心的橫坐標(biāo)為，

即圓心橫坐標(biāo)為.

則圓心到直線的距離為；

又弦長(zhǎng)

則以為直徑的圓的半徑，

則圓心到直線的距離等于半徑.

故以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.

綜上所述：以為直徑的圓與直線相切，即證.